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2014年全国高考理科数学试题及答案-全国卷

2024-11-11 15:52:26 编辑:join 浏览量:547

2014年全国高考理科数学试题及答案-全国卷

2014年普通高等学校统一考试(大纲)

理科

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设,则z的共轭复数为()

A.B.C.D.

2.设集合,则()

A.B.C.D.

3.设,则()

A.B.C.D.

4.若向量满足:,则()

A.2B.C.1D.

5.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()

A.60种B.70种C.75种D.150种

6.已知椭圆C:的左、右焦点为、,离心率为,过的直线交C于A、B两点,若的周长为,则C的方程为()

A.B.C.D.

7.曲线在点(1,1)处切线的斜率等于()

A.2eB.eC.2D.1

8.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()

A.B.C.D.

9.已知双曲线C的离心率为2,焦点为、,点A在C上,若,则()

A.B.C.D.

10.等比数列中,则数列的前8项和等于()

A.6B.5C.4D.3

11.已知二面角为,A为垂足,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()

A.B.C.D.

12.函数的图象与函数的图象关于直线对称,则的反函数是()

A.B.C.D.

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)

13.的展开式中的系数为.

14.设x、y满足约束条件,则的最大值为.

15.直线和是圆的两条切线,若与的交点为(1,3),则与的夹角的正切值等于.

16.若函数在区间是减函数,则a的取值范围是.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分10分)

的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,求B.

18.(本小题满分12分)

等差数列的前n项和为,已知,为整数,且.

(1)求的通项公式;

(2)设,求数列的前n项和.

19.(本小题满分12分)

如图,三棱柱中,点在平面ABC内的射影D在AC上,.

(1)证明:;

(2)设直线与平面的距离为,求二面角的大小.

20.(本小题满分12分)

设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为,各人是否需使用设备相互独立.

(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;

(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.

21.(本小题满分12分)

已知抛物线C:的焦点为F,直线与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.

(1)求C的方程;

(2)过F的直线与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求的方程.

22.(本小题满分12分)

函数.

(1)讨论的单调性;

(2)设,证明:.

参考答案

一、选择题:

1.D2.B3.C4.B5.C6.A

7.C8.A9.A10.C11.B12.D

二、填空题:

13.7014.515.16.

三、解答题:

17.(本小题满分10分)

解:由题设和正弦定理得

因为,所以

即……………………………6分

所以

……………8分

即………………………………10分

18.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)由,为整数知,等差数列的公差为整数

又,故

解得

因此

数列的通项公式为…………………………………6分

(Ⅱ)………………………8分

于是

……………….12分

19.(本小题满分12分)

解法一:(Ⅰ)因为平面平面,故平面平面,

又,所以平面,……………3分

连结,因为侧面为菱形,故

由三垂线定理得………5分

(Ⅱ)平面平面,故平面平面

作为垂足,则平面

又直线平面,因而为直线与平面的距离,

因为为的平分线,故………………8分

作为垂足,连结,由三垂线定理得,

故为二面角的平面角

由得为中点,

所以二面角的大小为………………12分

解法二:以C为坐标原点,射线CA为轴的正半轴,以CB的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系,由题设知与轴平行,轴在平面内

(Ⅰ)设,由题设有,则

………………2分

由得,即

于是,所以………………………5分

(Ⅱ)设平面的法向量,则,即,

因为,故,且

令,则,点到平面的距离为

又依题设,到平面的距离为,所以

代入①解得(舍去)或………………………………………8分

于是

设平面的法向量,则,即,

且,令,则,

又为平面的法向量,故

所以二面角的大小为……………………12分

20.(本小题满分12分)

解:记表示事件:同一工作日乙、丙中恰有人需使用设备,

B表示事件:甲需使用设备,

C表示事件:丁需使用设备,

D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备

(Ⅰ)

………3分

所以

……………………………………6分

(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3,4,其分布列为

…………………………………………………………………10分

数学期望

……………………………………………………………12分

21.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)设,代入得

所以

由题设得,解得(舍去)或

所以C的方程为……………………………………………5分

(Ⅱ)依题意知与坐标轴不垂直,故可设的方程为

代入得

设,则

故的中点为

又的斜率为,所以的方程为

将上式代入,并整理得

设,则

故的中点为

…10分

由于垂直平分,故四点在同一圆上等价于,

从而

化简得,解得或

所求直线的方程为或……………………………12分

22.(本小题满分12分)

解:

(Ⅰ)的定义域为………………….2分

(ⅰ)当时,若,则,在是增函数;

若,则,在是减函数;

若,则,在是增函数;……………………4分

(ⅱ)当时,成立当且仅当,在是增函数;

(ⅲ)当时,若,则,在是增函数;

若,则,在是减函数;

若,则,在是增函数;……6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,在是增函数,

当时,即

又由(Ⅰ)知,当时,在是减函数,

当时,即…………………9分

下面用数学归纳法证明

(ⅰ)当时,由已知,故结论成立;

(ⅱ)设当时结论成立,即

当时,

即当时有,结论成立。

根据(ⅰ)、(ⅱ)知对任何结论都成立……………………………12分

标签:数学试题,理科

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